Matematyka studia drugiego stopnia

Podstawowe zasady

Studia przeznaczone dla absolwentów studiów wyższych kierunku: matematyka.

1. O przyjęciu na studia decydować będzie w pierwszej kolejności ocena na dyplomie ukończenia studiów wyższych, w drugiej kolejności średnia ocen z toku studiów potwierdzona zaświadczeniem wydanym przez dziekanat macierzystej uczelni.

Studia przeznaczone dla absolwentów studiów wyższych kierunków innych niż matematyka.

1. Przyjęcie kandydatów na I rok studiów odbywać się będzie na podstawie wyniku egzaminu pisemnego (test z zakresu modułów treści przedmiotów podstawowych właściwych dla studiów licencjackich kierunku matematyka).
2. Za egzamin pisemny (test) można uzyskać maksymalnie 50 punktów. Egzamin wstępny jest zdany, jeśli kandydat uzyskał minimum 30 punktów.
3. Uwaga! Do egzaminu mogą również przystąpić kandydaci, którzy ukończyli studia wyższe na kierunku matematyka, ale uzyskana ocena na dyplomie nie gwarantuje, w ich przekonaniu, przyjęcia na studia drugiego stopnia na podstawie oceny na dyplomie.

Zagadnienia egzaminacyjne

(dla absolwentów studiów wyższych kierunków innych niż matematyka)

1. Grupa (definicja, przykłady, podstawowe własności).
2. Rozkład grupy na warstwy (tw. Lagrange`a).
3. Grupa ilorazowa.
4. Pierścień i ciało (definicje, przykłady, podstawowe własności).
5. Przestrzeń wektorowa, jej wymiar i baza.
6. Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego.
7. Macierze i wyznaczniki.
8. Układy równań liniowych.
9. Równanie prostej na płaszczyźnie, równanie prostej i płaszczyzny w przestrzeni, warunki równoległości i prostopadłości.
10. Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie.
11. Funkcje liniowe i dwuliniowe, formy kwadratowe. Twierdzenie Sylwestera.
12. Granica i punkt skupienia ciągu liczbowego (przykłady ciągów, własności ciągów).
13. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
14. Zbieżność i suma szeregu, przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych.
15. Funkcje elementarne i ich wykresy.
16. Granica i ciągłość funkcji oraz jednostajna ciągłość. Własności funkcji ciągłej w przedziale domkniętym.
17. Definicja i podstawowe własności pochodnej funkcji jednej zmiennej, zastosowania geometryczne i mechaniczne.
18. Twierdzenia o wartości średniej: Rolle`a, Lagrange`a i Cauchy`ego.
19. Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora.
20. Badanie funkcji.
21. Różniczkowanie odwzorowań z R^n do R^m.
22. Badanie ekstremum funkcji wielu zmiennej.
23. Całka jednokrotna i całka wielokrotna i związek z miarą podwykresu.
24. Obliczanie całek nieoznaczonych.
25. Całka oznaczona, jej własności i związek z polem.
26. Zastosowania geometryczne całek oznaczonych.
27. Kryteria zbieżności całek niewłaściwych.
28. Zbieżność i jednostajna zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych.
29. Szereg potęgowy, jego promień zbieżności, twierdzenie Cauchy`ego - Hadamarda.
30. Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy (przykłady).
31. Całka Riemanna lub Lebesgue’a, konstrukcja i własności.
32. Relacje: typy, własności i przykłady.
33. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Liczby kardynalne i porządkowe.
34. Liczby zespolone - definicja, działania, wzór Eulera i wzór Moivre`a.
35. Definicja i podstawowe własności prawdopodobieństwa.
36. Prawdopodobieństwo warunkowe, wzory na prawdopodobieństwo całkowite i Bayesa , niezależność zdarzeń.
37. Zmienne losowe, definicje, typy, przykłady.
38. Rozkład zmiennej losowej – definicja, przykłady.
39. Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności.
40. Wartość oczekiwana zmiennej losowej, własności i przykłady.
41. Wariancja zmiennej losowej, własności i przykłady.
42. Prawa wielkich liczb rachunku prawdopodobieństwa.
43. Zliczanie z utożsamieniami (Lemat Burnside’a).
44. Twierdzenie Halla i jego zastosowania.
45. Liczby i indeksy chromatyczne.

Semestr I

• Teoria miary i całki
• Analiza zespolona
• Topologia
• Matematyka obliczeniowa
• Proseminarium
• Historia matematyki

Semestr II

• Teoria Galois
• Analiza funkcjonalna
• Metody optymalizacji
• Seminarium
• Język obcy
• Komunikacja interpersonalna i umiejętności społeczne

Moduły do wyboru:

• Teoria informacji / Teoria gier

 Semestr III

• Równania różniczkowe cząstkowe
• Seminarium
• Język obcy specjalistyczny

Moduły do wyboru:

• Funkcje rzeczywiste / Wstęp do deskryptywnej teorii mnogości
• Matematyka w ekonomii / Współczesna teoria liczb
• Algebry Banacha i C*-algebry / Teoria operatorów na przestrzeniach BanachaWykład monograficzny I / Wykład monograficzny II

Semestr IV

• Dodatkowe rozdziały analizy
• Matematyczne podstawy uczenia maszynowego
• Seminarium

Moduły do wyboru:

• Metody probabilistyczne i statystyczne w ekonomii / Matematyczna teoria portfela papierów wartościowych
• Wielowymiarowa analiza statystyczna / Analizy statystyczne z językiem R
• Wykład monograficzny III / Wykład monograficzny IV